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Aula 06 - Funções horárias do MUV
Equação horária da velocidade
Na
Física
sempre
procuramos
descrever
um
fenômeno
a
partir
de
expressões
matemáticas
que
relacionam
grandezas
como
posição
(s),
velocidade
(v),
aceleração
(
a)
,
tempo
(t),
massa
(m),
etc.
Na
cinemática
não
poderia
ser
diferente,
estabeleceremos
uma
relação
entre
a
posição
e
a
velocidade
de
um
corpo,
com
o
tempo.
Estas
expressões
são
chamadas
de
funções
horárias
e
é
sobre elas que falaremos nesta aula.
A
função horária da velocidade
vem da expressão da aceleração, que pode ser obtida da seguinte forma:
Vamos considerar que o início do movimento ocorra no instante t
0
= 0 s. A equação horária da velocidade fica:
Chamamos esta expressão de equação horária da velocidade.
Exercícios resolvidos
R1.
A velocidade de um corpo que executa MRUV, é dada pela expressão v = 6 - 2t em unidades do (SI). Determine:
a) a velocidade inicial do corpo;
Resolução:
Comparando a equação da velocidade com a equação fornecida pelo exercício, teremos
b) a aceleração do corpo:
Resolução:
Para encontrar a aceleração, faremos novamente a comparação das equações.
c) a velocidade do corpo no instante t = 8 s
Resolução:
Devemos
neste
item
determinar
qual
deve
ser
a
velocidade
do
corpo
no
instante
t
=
8
s.
Substituindo
o
valor
do
tempo
na
equação,
teremos:
R2.
Numa
rodovia,
um
motorista
dirige
com
velocidade
v
=
20
m/s
quando
avista
um
animal
atravessando
a
pista.
Assustado,
o
motorista freia bruscamente e consegue parar em 5,0 segundos, a tempo de evitar o choque. Determine:
a) a aceleração média de frenagem em m/s
2
;
Resolução:
Para determinar a aceleração do movimento, devemos ver quais são as grandezas físicas fornecidas pelo exercício:
b) a equação horária da velocidade para este veículo.
Resolução:
Sabemos que a equação horária da velocidade é: v = v
0
+ t, substituindo os valores teremos:
Exercícios Propostos
P1.
Uma
automóvel
parte
do
repouso
com
aceleração
constante
de
3
m/s
2
.
Determine
em
que
instante
ele
atingiu
a
velocidade
de
30 m/s.
P2.
Uma
partícula
em
movimento
retilíneo
movimenta-se
de
acordo
com
a
equação
v
=
7
+
2t,
no
(SI).
Determine
para
essa
partícula:
a) A velocidade inicial
b) A aceleração
c) A velocidade quando t = 4 s.
P3.
Um
automóvel
que
trafega
com
velocidade
constante
de
10
m/s,
em
uma
pista
reta
e
horizontal,
passa
a
acelerar
uniformemente
à
razão
de
60
m/s
a
cada
minuto,
mantendo
essa
aceleração
durante
30
segundos.
Determine
a
velocidade
instantânea do automóvel ao final desse intervalo de tempo.
P4.
No instante t0 = 0 s, um automóvel a 72 km/h passa a frear com aceleração escalar constante igual a 4 m/s2. Determine:
a) a função horária de sua velocidade escalar;
b) o instante em que sua velocidade escalar se anula.
P5.
(UFRJ)
Um
avião
vai
decolar
em
uma
pista
retilínea.
Ele
inicia
seu
movimento
na
cabeceira
da
pista
com
velocidade
nula
e
corre
por
ela
com
aceleração
média
de
2,0
m/s2
até
o
instante
em
que
levanta
voo,
com
uma
velocidade
de
80
m/s,
antes
de
terminar
a
pista. Calcule quanto tempo o avião permanece na pista desde o início do movimento até o instante em que levanta voo.
P6.
(UNESP)
Um
veículo
está
rodando
à
velocidade
de
36
km/h
numa
estrada
reta
e
horizontal,
quando
o
motorista
aciona
o
freio.
Supondo
que
a
velocidade
do
veículo
se
reduz
uniformemente
à
razão
de
4
m/s
em
cada
segundo
a
partir
do
momento
em
que
o
freio foi acionado, determine o tempo decorrido entre o instante do acionamento do freio e o instante em que o veículo para.
Equação horária de posição
A
figura
abaixo
representa
o
movimento
de
um
corpo
e
nos
indica
as
sucessivas
posições
que
ele
ocupa
e
o
instante
em
que
elas
ocorrem.
Entre
uma
posição
e
outra,
o
intervalo
de
tempo
se
mantém
constante
de
t
=
1
s,
por
sua
vez
as
distâncias
percorridas
são cada vez maiores.
Se
o
corpo
percorre
distâncias
cada
vez
maiores
no
mesmo
intervalo
de
tempo,
sugere-se
que
a
velocidade
não
é
constante
e
tem
seu
valor
aumentado.
Neste
caso
a
velocidade
varia
uniformemente
caracterizando
um
movimento
retilíneo
uniformemente
variado.
Na
cinemática,
observar
um
movimento
é
fundamental,
porém
o
que
se
pretende
é
poder
expressar
através
de
uma
função
matemática
tudo
aquilo
que
dissemos
baseando-se
na
figura.
Esta
função
horária
de
posição,
nos
dará
a
cada
instante
(t),
a
posição (s) do corpo. Por se tratar do movimento uniformemente variado, esta função é de segundo grau, dada por:
Exercícios resolvidos
R3.
(EEM)
Um
móvel
passa
pelo
marco
zero
de
uma
trajetória,
em
movimento
retrógrado
uniformemente
retardado,
no
instante
t
=
0
s.
Nesse
instante,
sua
velocidade
escalar
é
20
m/s
e
a
aceleração
escalar
é
4
m/s
2
,
em
módulo.
Determine
sua
posição
e
velocidade:
a) para t = 5,0 s.
Resolução:
Para
resolvermos
o
problema,
devemos
obter
a
equação
de
posição
e
da
velocidade.
Vamos
inicialmente
escolher
os
valores
necessários
para montar as equações.
b) para t = 10 s.
Resolução:
R4.
(FAU-USP)
Partindo
do
repouso
no
instante
t
=
0,
um
ponto
material
possui
aceleração
escalar
constante
e
igual
a
2,0
m/s
2
.
Qual a distância percorrida entre os instantes t
1
= 1,0 s e t
2
= 2,0 s ?
Resolução:
Vamos inicialmente identificar os valores numéricos fornecidos no problema:
Exercícios propostos
P7.
(UFSC)
Um
móvel
descreve
um
movimento
retilíneo
uniformemente
acelerado
numa
trajetória
em
linha
reta
e
suas
posições
variam
no
tempo
de
acordo
com
a
equação
s
=
20
+
2
t
+
2t
2
,
onde
s
é
medido
em
metros
e
t
em
segundos.
Determine
a
velocidade do móvel quando o tempo t for igual a 10 s.
P8.
(UFPE)
Uma
partícula
se
move
ao
longo
do
eixo
x
de
modo
que
sua
posição
é
descrita
por
x
(t)
=
-
10,0
+
2,0
t
+
3,0
t
2
,
onde
o
tempo
está
em
segundos
e
a
posição,
em
metros.
Calcule
o
módulo
da
velocidade
média,
em
metros
por
segundo,
no
intervalo
entre t =1,0 a e t = 2,0 s.
P9.
A
função
horária
da
posição
s
de
um
móvel
é
dada
por
s
=
20
+
4t
-
3t
2
,
com
unidades
do
Sistema
Internacional.
Nesse
mesmo
sistema, escreva a função horária da velocidade deste móvel.
P10.
(EEM) Um móvel passa pelo marco zero de uma trajetória, em movimento retrógrado uniformemente retardado, no instante
t
=
0
s.
Nesse
instante,
sua
velocidade
escalar
é
20
m/s
e
a
aceleração
escalar
é
4
m/s
2
,
em
módulo.
Determine
sua
posição
e
velocidade:
a) para t = 5,0 s.
b) para t = 10 s.
P11.
A
velocidade
de
um
corpo
que
executa
MRUV,
é
dada
pela
expressão
v
=
4
+
3t
em
unidades
do
(SI).
Determine:a)
a
velocidade
inicial do corpo;
b) a aceleração do corpo;
c) a velocidade do corpo no instante t = 8 s
Mudança de sentido
Em
algumas
situações
um
corpo
ao
executar
um
MRUV,
pode
mudar
seu
sentido
durante
o
movimento.
O
exemplo
da
figura
abaixo,
mostra
que
a
posição
inicial
é
s
0
=
6
m,
e
seu
deslocamento
é
contrário
a
trajetória.
Quando
o
corpo
atinge
a
posição
s
=
-
2
m
no
instante
t
=
2
s,
ocorre
a
mudança
de
sentido,
e
seu
movimento
passa
a
ser
favorável
a
trajetória.
Esta
posição
de
inversão
do movimento ocorre quando sua velocidade for nula.
Matematicamente
para
determinar
o
instante
em
que
ocorre
a
mudança
de
sentido,
atribuímos
a
velocidade
valor
nulo
v
=
0
m/s.
Veja como fica:
v = -8 + 4 t quando muda de sentido: v = 0
Exercícios resolvidos
R5.
A
velocidade
de
um
corpo
que
executa
MRUV,
é
dada
pela
expressão
v
=
-
4
+
2t
em
unidades
do
(SI).
Determine
o
instante
em
que o corpo muda seu sentido.
Resolução:
Sabemos que a condição para que o corpo mude seu sentido, a velocidade deve ser nula (v = 0 m/s)
v = - 4 + 2t substituindo 0 = - 4 + 2t
4 = 2t o instante será:
t = 2 s
R6.
A
função
horária
da
posição
s
de
um
móvel
é
dada
por
s
=
20
+
4t
-
3t
2
,
com
unidades
do
Sistema
Internacional.
Nesse
mesmo
sistema,
a) escreva a função horária da velocidade deste móvel.
Resolução:
b) encontre o instante em que o corpo muda de sentido
Resolução:
Sabemos que a condição para que o corpo mude seu sentido, a velocidade deve ser nula (v = 0 m/s)
v = 4 - 6 t substituindo 0 = 4 - 6 t
- 4 = - 6 t o instante será: t = 4/6 s
Exercícios propostos
P12.
Partindo
da
posição
s
0
=
2
m
no
instante
t
=
0
s,
com
uma
velocidade
v
0
=
2
m/s,
um
ponto
material
possui
aceleração
escalar
constante e igual a 4,0 m/s
2
. Considerando que o ponto material se desloque em uma trajetória horizontal e retilínea, determine:
a) qual a posição do ponto material no instante t = 2,0 s.
b) a equação horária da velocidade,
c) em que instante o corpo muda o seu sentido.
É
bom
lembrar,
como
realizamos
a
transformação de unidades