1.8 Notação científica

1.8.a Para que serve a notação científica?

A primeira tentativa conhecida em representar números muito grandes foi realizada pelo matemático grego Arquimedes, encontramos este estudo na sua obra O Contador de Areia, no século III a.C. Neste trabalho, dirigindo se ao rei Gelão, o siracusano inicia o tratado discorrendo sobre a questão do infinito e dos números extremamente grandes, usando o número de grãos de areia como exemplo. Arquimedes demonstra que consegue escrever o número de grãos de areia necessários para encher a esfera que tem por centro o sol e cujo raio é a distância entre o centro do sol e o centro da terra, ou seja, o número de grãos de areia que o 'universo', pode conter. Para poder demonstrar a sua tese, Arquimedes teve de se basear em estimativas de distâncias entre a Terra e a Lua, e entre a Terra e o Sol. Ele desenvolveu um método de representação numérica para estimar quantos grãos de areia seriam necessários para preencher o universo. O número estimado por ele, escrito em notação científica hoje, seria de 1 × 10 63 grãos. Notação científica é uma forma muito conveniente para escrever pequenos ou grandes números e realizar cálculos com eles. Em algumas áreas da ciência, trabalhar com números muito grandes, como é o caso da astronomia, ou muito pequenas no estudo dos átomos.

O sistema decimal, que se baseia no número 10, é o sistema numérico mais utilizado no mundo. Ao usar o sistema decimal na base 10, o expoente informa quantas vezes devemos multiplicar 10 por ele mesmo: por exemplo, 10 elevado à terceira potência (10 3 ) é 10 3 = 10 x 10 x 10 = 1 000 ou 10 4 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000 quando o expoente for negativo, quantas vezes devemos dividir por 10, como: A potência de dez é utilizada para abreviar múltiplos de dez, ou submúltiplos de dez. Assim: Voltando ao problema de Arquimedes, o número de grãos de areia seria escrito hoje como: 1 × 10 63 . Perceba que o valor do expoente é 63, escrever este número de forma completa, significa escrever o valor numérico, 1 e em seguida mover a vírgula para a direita em 63 casas decimais, preenchendo os novos espaços com zeros. O resultado seria o seguinte; G = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 perceba que não faz sentido realizar cálculos com um número com tantos zeros. Vejamos outro exemplo, a massa do elétron é: m = 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 kg. Esse número é realmente muito pequeno! Se você tivesse que escrevê-los várias vezes, ou pior ainda, usá-lo para realizar cálculos, teria problemas com todos esses zeros. Estes dois exemplos nos mostram, que é muito mais simples expressá-los usando notação científica, ou seja a melhor maneira de lidar com números grandes ou pequenos, é abreviá-los usando potências de dez. Como isso pode ser feito? A notação científica consiste em escrever certa grandeza como o produto de um número N, igual ou maior que 1, e menor que 10 ( 1≤ N < 10 ), multiplicado por 10 elevado a alguma potência Assim o valor m = 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 kg, pode ser escrito como 9,1 x 10 31 kg. Como isso é feito? É o que veremos a seguir.

Exemplo 1. Vejamos como transformar a grandeza: G = 253756,42 kg, em notação científica, seguindo o modelo: G = N x 10 n A notação científica padronizada exige que N seja um valor maior igual a 1 e menor que dez (1 ≤ N <10). Seguindo este critério devemos escrever: N = 253756 , 42 deverá ser escrito como: 2 , 5375642 de acordo com a regra, teremos 1 ≤ 2,5375642 < 10 Observe que a mudança da virgula reduziu o valor numérico de N. Algo deve ser feito para não alterar o valor numérico de N. Assim teremos que: "Cada casa decimal que diminui o valor de N, aumenta o expoente em uma unidade". Observe que ao deslocar a vírgula 5 casas reduzindo o valor numérico de N, o expoente de dez 10, deverá aumentar onde n = +5. Exemplo 2. Vamos escrever a grandeza fisica do comprimento: G = 0,000 000 0475 m, de acordo com a notação científica, seguindo o modelo adotado : G = N x 10 n A escrita em notação científica exige que N seja igual ou maior que 1, e menor que dez, ou seja: 1 ≤ N <10 , desta forma devemos fazer esta transformação: N = 0,000 000 0475 m deverá ser escrito como: 4,75 m de acordo com a regra, onde 1 ≤ 4,75 < 10 Observe que a mudança da virgula alterou o valor numérico de N. Algo deve ser feito para não alterar o valor numérico de N. Recordando a regra teremos que: "Cada casa decimal que aumenta o valor de N, deveremos diminuir o expoente n em uma unidade". Observe que ao deslocar a vírgula 8 casas, você alterou o valor numérico original tornando-o maior, então, para compensar esta alteração, você deve alterar o expoente n negativo. Nesse caso, o expoente é n = - 8. Exemplo 3. Vamos escrever o valor da massa G = 0,000 000 000 0234 kg em notação científica. Seguindo o modelo: G = N x 10 n Novamente N deve obedecer um valor entre 1 ≤ N <10, ou seja, um número igual ou maior que 1 e menor que 10. Teremos: N = 0,000 000 000 0234 deverá ser escrito como: 2,34 de acordo com a regra, onde 1 ≤ 2,34 < 10 Observe que a mudança da virgula alterou o valor numérico de N. Recordando a regra: "Cada casa decimal que aumenta o valor de N, deveremos diminuir o expoente n em uma unidade". Neste caso a vírgula será deslocada, 11 casas para a direita, aumentando o valor numérico, assim devemos compensar diminuindo o valor do espoente. Neste caso n = - 11. Exemplo 4. A massa do próton é aproximadamente M = G = 0,000 000 000 000 000 000 000 000 00167 kg, vamos escrever este valor de acordo com a notação científica, sguindo o modelo: G = N x 10 n Vamos fazer com que N seja um valor entre 1 ≤ N <10, ou seja, um número igual ou maior que 1, e menor que 10. Obedecendo este critério teremos: Neste caso a vírgula será deslocada, 27 casas para a direita, aumentando o valor numérico, assim devemos compensar diminuindo o valor do espoente. "Cada casa decimal que aumenta o valor de N, deveremos diminuir o expoente n em uma unidade". Neste caso n = - 27. Exemplo 5. A massa da Terra é de aproximada de Massa = 5 973 600 000 000 000 000 000 000 kg. Vamos escrever na forma: G = N x 10 n Vamos fazer com que N seja um valor entre 1 ≤ N <10, ou seja, um número igual ou maior que 1, e menor que 10. Obedecendo este critério teremos: Observe que ao deslocar a vírgula 24 casas, o valor numérico será reduzindo, para conpensar esta alteração o expoente de dez 10, deverá aumentar onde n = +24. 1.8.c Unidades de medida na astronomia Os astrônomos usam a distância entre a Terra e o Sol, que é de 150 milhões de quilômetros, como uma unidade de medida chamada Unidade Astronômica 1,0 UA. 1 unidade astronômica = 149 597 870 700 metros (por definição) O ano-luz é uma unidade de comprimento usada para expressar distâncias astronômicas e é equivalente a cerca de 9,46 trilhões de quilômetros (9,46 × 10 12 km). Conforme definido pela União Astronômica Internacional (IAU), um ano-luz é a distância que a luz viaja no vácuo em um ano juliano (365,25 dias). 1 ano luz = 9 460 730 472 580 800 metros (exatamente) Podemos realizar o cálculo para termos idéia de como este valor é obtido.

Vamos praticar