2.5 Equações horárias no movimento retilíneo uniformemente variado

Cinemática

2.5.a Equações horárias do MRUV - Velocidade

Vamos inicialmente, estabelecer uma relação entre a velocidade de um corpo, e o tempo. Esta expressão denominamos de função horária da velocidade. A função horária da velocidade vem da expressão da aceleração, que pode ser obtida da seguinte forma: Vamos considerar que o início do movimento ocorra no instante t 0 = 0 s . A equação horária da velocidade fica: Melhorando a equação, teremos a equação horária da velocidade. 2.5.b Exercícios resolvidos R1. A velocidade de um corpo que executa MRUV, é dada pela expressão v = 6 - 2t em unidades do (SI). Determine: a) a velocidade inicial do corpo; Resolução: Comparando a equação da velocidade com a equação fornecida pelo exercício, teremos b) a aceleração do corpo: Resolução: Para encontrar a aceleração, faremos novamente a comparação das equações. c) a velocidade do corpo no instante t = 8 s Resolução: Devemos neste item determinar qual deve ser a velocidade do corpo no instante t = 8 s. Substituindo o valor do tempo na equação, teremos: R2. Numa rodovia, um motorista dirige com velocidade v = 20 m/s quando avista um animal atravessando a pista. Assustado, o motorista freia bruscamente e consegue parar em 5,0 segundos, a tempo de evitar o choque. Determine: a) a aceleração média de frenagem em m/s 2 ; Resolução: Para determinar a aceleração do movimento, devemos ver quais são as grandezas físicas fornecidas pelo exercício: b) a equação horária da velocidade para este veículo. Resolução: Sabemos que a equação horária da velocidade é: v = v 0 + t, substituindo os valores teremos: 2.5.c Exercícios Propostos P1. Uma automóvel parte do repouso com aceleração constante de 3 m/s 2 . Determine em que instante ele atingiu a velocidade de 30 m/s. P2. Uma partícula em movimento retilíneo movimenta-se de acordo com a equação V = 7 + 2t, no (SI). Determine para essa partícula: a) A velocidade inicial b) A aceleração c) A velocidade quando t = 4 s. P3. Um automóvel que trafega com velocidade constante de 10 m/s, em uma pista reta e horizontal, passa a acelerar uniformemente à razão de 60 m/s a cada minuto, mantendo essa aceleração durante 30 segundos. Determine a velocidade instantânea do automóvel ao final desse intervalo de tempo. P4. No instante t 0 = 0 s, um automóvel a 72 km/h passa a frear com aceleração escalar constante igual a 4 m/s 2 . Determine: a) a função horária de sua velocidade escalar; b) o instante em que sua velocidade escalar se anula. P5. (UFRJ) Um avião vai decolar em uma pista retilínea. Ele inicia seu movimento na cabeceira da pista com velocidade nula e corre por ela com aceleração média de 2,0 m/s 2 até o instante em que levanta voo, com uma velocidade de 80 m/s, antes de terminar a pista. Calcule quanto tempo o avião permanece na pista desde o início do movimento até o instante em que levanta voo. P6. (UNESP) Um veículo está rodando à velocidade de 36 km/h numa estrada reta e horizontal, quando o motorista aciona o freio. Supondo que a velocidade do veículo se reduz uniformemente à razão de 4 m/s em cada segundo a partir do momento em que o freio foi acionado, determine o tempo decorrido entre o instante do acionamento do freio e o instante em que o veículo para.

2.5.d Equação horária de posição A figura abaixo representa o movimento de um corpo e nos indica as sucessivas posições que ele ocupa e o instante em que elas ocorrem. Entre uma posição e outra, o intervalo de tempo se mantém constante de  t = 1 s, por sua vez as distâncias percorridas são cada vez maiores. Se o corpo percorre distâncias cada vez maiores no mesmo intervalo de tempo, sugere-se que a velocidade não é constante e tem seu valor aumentado. Neste caso a velocidade varia uniformemente caracterizando um movimento retilíneo uniformemente variado. Na cinemática, observar um movimento é fundamental, porém o que se pretende é poder expressar através de uma função matemática tudo aquilo que dissemos baseando-se na figura. Esta função horária de posição, nos dará a cada instante (t), a posição (s) do corpo. Por se tratar do movimento uniformemente variado, esta função é de segundo grau, dada por:

2.5.e Exercícios resolvidos R3. (EEM) Um móvel passa pelo marco zero de uma trajetória, em movimento retrógrado uniformemente retardado, no instante t = 0 s. Nesse instante, sua velocidade escalar é 20 m/s e a aceleração escalar é 4 m/s 2 , em módulo. Determine sua posição e velocidade: a) para t = 5,0 s. Resolução: Para resolvermos o problema, devemos obter a equação de posição e da velocidade. Vamos inicialmente escolher os valores necessários para montar as equações. b) para t = 10 s. Resolução:

R4. (FAU-USP) Partindo do repouso no instante t = 0, um ponto material possui aceleração escalar constante e igual a 2,0 m/s 2 . Qual a distância percorrida entre os instantes t 1 = 1,0 s e t 2 = 2,0 s ? Resolução: Vamos inicialmente identificar os valores numéricos fornecidos no problema:

2.5.f Exercícios propostos P7. (UFSC) Um móvel descreve um movimento retilíneo uniformemente acelerado numa trajetória em linha reta e suas posições variam no tempo de acordo com a equação s = 20 + 2 t + 2t 2 , onde s é medido em metros e t em segundos. Determine a velocidade do móvel quando o tempo t for igual a 10 s. P8. (UFPE) Uma partícula se move ao longo do eixo x de modo que sua posição é descrita por x (t) = - 10,0 + 2,0 t + 3,0 t 2 , onde o tempo está em segundos e a posição, em metros. Calcule o módulo da velocidade média, em metros por segundo, no intervalo entre t =1,0s e t = 2,0 s.

P9. A função horária da posição s de um móvel é dada por s = 20 + 4t - 3t 2 , com unidades do Sistema Internacional. Nesse mesmo sistema, escreva a função horária da velocidade deste móvel. P10. (EEM) Um móvel passa pelo marco zero de uma trajetória, em movimento retrógrado uniformemente retardado, no instante t = 0 s. Nesse instante, sua velocidade escalar é 20 m/s e a aceleração escalar é 4 m/s 2 , em módulo. Determine sua posição e velocidade: a) para t = 5,0 s. b) para t = 10 s

P11. A velocidade de um corpo que executa MRUV, é dada pela expressão v = 4 + 3t em unidades do (SI). Determine: a) a velocidade inicial do corpo; b) a aceleração do corpo; c) a velocidade do corpo no instante t = 8 s

2.5.g Mudança de sentido Em algumas situações um corpo ao executar um MRUV, pode mudar seu sentido durante o movimento. O exemplo da figura abaixo, mostra que a posição inicial é s 0 = 6 m, e seu deslocamento é contrário a trajetória. Quando o corpo atinge a posição s = - 2 m no instante t = 2 s, ocorre a mudança de sentido, e seu movimento passa a ser favorável a trajetória. Esta posição de inversão do movimento ocorre quando sua velocidade for nula

Matematicamente para determinar o instante em que ocorre a mudança de sentido, atribuímos a velocidade o valor nulo v = 0 m/s. Veja como fica: V= -8 + 4 t quando muda de sentido: V = 0

2.5.h Exercícios resolvidos R5. A velocidade de um corpo que executa MRUV, é dada pela expressão v = - 4 + 2t em unidades do (SI). Determine o instante em que o corpo muda seu sentido. Resolução: Sabemos que a condição para que o corpo mude seu sentido, a velocidade deve ser nula (v = 0 m/s) v = - 4 + 2t substituindo: V = 0 m/s portanto 0 = - 4 + 2t 4 = 2t o instante será: t = 2 s

R6. A função horária da posição s de um móvel é dada por s = 20 + 4t - 3t 2 , com unidades do Sistema Internacional. Nesse mesmo sistema; a) escreva a função horária da velocidade deste móvel. Resolução: b) encontre o instante em que o corpo muda de sentido Resolução: Sabemos que a condição para que o corpo mude seu sentido, a velocidade deve ser nula (v = 0 m/s) v = 4 - 6 t, substituindo 0 = 4 - 6 t - 4 = - 6 t o instante será: t = 4/6 s

2.5.j Exercícios propostos P12. Partindo da posição s 0 = 2 m no instante t = 0 s, com uma velocidade v 0 = 2 m/s, um ponto material possui aceleração escalar constante e igual a 4,0 m/s 2 . Considerando que o ponto material se desloque em uma trajetória horizontal e retilínea, determine: a) qual a posição do ponto material no instante t = 2,0 s. b) a equação horária da velocidade,c) em que instante o corpo muda o seu sentido.

P13. (UFSC - 1988) Um móvel descreve um movimento retilíneo uniformemente acelerado numa trajetória em linha reta e suas posições variam no tempo de acordo com a equação s = 20 + 2.t + 2.t 2 onde s é medido em metros e t em segundos. Determine a velocidade do móvel quando o tempo t for igual a 10 s.

P14. (FAU-USP) Partindo do repouso no instante t = 0, um ponto material possui aceleração escalar constante e igual a 2,0 m/s 2 . Qual a distância percorrida entre os instantes t 1 = 1,0 s e t 2 = 2,0 s?

P15. (UERJ 2014) O cérebro humano demora cerca de 0,36 segundos para responder a um estímulo. Por exemplo, se um motorista decide parar o carro, levará no mínimo esse tempo de resposta para acionar o freio. Determine a distância que um carro a 100 km/h percorre durante o tempo de resposta do motorista e calcule a aceleração média imposta ao carro se ele para totalmente em 5 segundos.

2.5.h Testes propostos

T1. (Unicamp 2024) Uma das etapas mais difíceis de um voo espacial tripulado é a reentrada na atmosfera terrestre. Ao reencontrar as camadas mais altas da atmosfera, a nave sofre forte desaceleração e sua temperatura externa atinge milhares de graus Celsius. Caso a reentrada não ocorra dentro das condições apropriadas, há risco de graves danos à nave, inclusive de explosão, e até mesmo risco de ela ser lançada de volta ao espaço. Logo ao reentrar na atmosfera terrestre, uma cápsula espacial passa a descrever, durante certo tempo, um movimento retilíneo uniformemente variado em que ela é freada com aceleração a = - 5m/s 2 . Se no início dessa etapa (t = 0) do movimento a velocidade da cápsula é V 0 = 7 000 m/s, qual é a distância percorrida até o tempo t = 200 s? a) 1300 km. b) 1400 km. c) 1500 km. d) 4900 km.

T2. (Unicamp 2023) O balonismo, um esporte aeronáutico com adeptos em todo o mundo, oferece um belo espetáculo para os observadores no solo. Um maçarico é usado para aquecer o ar no interior do balão, o que faz variar a densidade do ar, permitindo o controle do movimento de subida e descida do balão. Um balão, inicialmente em repouso no solo, decola e sobe em movimento uniformemente variado. Se o balão atinge a altura h = 80 m após um tempo t = 40 s, conclui-se que a aceleração vertical do balão nesse movimento é igual a a) 2,0 m/s 2 b) 4,0 m/s 2 c) 0,05 m/s 2 d) 0,1 m/s 2

T3. (Fmc 2021) Dois atletas A e B correm ao longo de linhas retas paralelas. Suas respectivas posições e nessas linhas variam no tempo da seguinte forma: X A (t) = c.t e X B (t) = d + b.t -  a.t 2 /2 onde  d= 5 m, b = 10 m/s, a = 2m/s 2 e c = 6 m/s. A partir do instante inicial t = 0 s o tempo necessário para que os atletas atinjam velocidades idênticas é de: a) 2 s b) 4 s c) 5 s d) 6 s e) 8 s

T4. (Famerp 2021) O sangue percorre as grandes artérias do corpo humano com velocidade aproximada de 30,00 cm/s e os vasos capilares com velocidade de 0,05 cm/s. Supondo que o intervalo de tempo para certa massa de sangue ir de uma grande artéria até um vaso capilar seja de 30 s essa massa de sangue será submetida, nesse deslocamento, a uma aceleração média, em valor absoluto, de aproximadamente a) 0,05 m/s 2         b) 0,01 m/s 2 c) 0,10 m/s 2 d) 0,25 m/s 2 e) 0,50 m/s 2

T5. (Ueg 2021) Uma partícula sai de um ponto A com velocidade inicial V 0 = 1 m/s e desliza em linha reta até chegar em um ponto B, dez segundos depois, com velocidade V = 5 m/s. Sabendo-se que a equação da velocidade dessa partícula em função do tempo t é V = V 0 +  t a aceleração do movimento é a) 0,2 m/s 2 b) 0,4 m/s 2 c) 0,6 m/s 2 d) 0,8 m/s 2 e) 1,0 m/s 2

T6. (Acafe 2018) A Física é a ciência responsável pelos fenômenos que acontecem ao nosso redor, sendo que a relação com a Matemática se traduz em expressões algébricas ou fórmulas matemáticas, que embasam os fundamentos teóricos. Em um M.R.U.V. para um determinado móvel a velocidade do mesmo é descrita pela equação V = 50 – 10.t (em unidades do SI). Neste caso, a alternativa correta que apresenta o instante, em s que o móvel inverte o sentido do movimento é: a) 0,5 b) 5,0 c) 1,0 d) 0,2

T7. (Unesp 2018) Um foguete lançador de satélites, partindo do repouso, atinge a velocidade de 5400 km/h após 50 segundos. Supondo que esse foguete se desloque em trajetória retilínea, sua aceleração escalar média é de a) 30 m/s 2 b) 150 m/s 2 c) 388 m/s 2 d) 108 m/s 2 e) 54 m/s 2

Procure fazer o teu mapa conceitual, vai te ajudar a organizar os conceitos desta lição.

Como colaborar. Este site não possui finan- ciamento algum. A forma que eu encontrei para arrecadar fundos, é ofertar a compra do livro indicado na figura abaixo. Testes da Fuvest com reso- lução comentada.

As equações horárias do MRUV são ferramentas fundamentais na Mecânica, especialmente na cinemática, pois permitem descrever de forma precisa e matemática o movimento de um corpo que se move em linha reta e com aceleração constante. Por que são importantes? Previsibilidade: Com as equações horárias, é possível prever a posição, a velocidade de um corpo em qualquer instante de tempo, desde que se conheçam os valores iniciais de posição, velocidade e a aceleração. Este conceito em possibilitar o que pode ocorrer com o movimento, é crucial em diversas áreas física. Análise de movimento: Ao analisar as equações, podemos obter informações importantes sobre o movimento, como a direção (se o movimento é acelerado ou retardado), o sentido (se é progressivo ou retrógrado) e a distância percorrida em um determinado intervalo de tempo. Resolução de problemas: As equações horárias são a base para a resolução de uma grande variedade de problemas envolvendo movimento, desde a queda livre de um objeto até o lançamento de projéteis. Quais são as principais equações horárias do MRUV? As equações horárias do MRUV são: Posição (S): S = S ₀ + V ₀ t + ( a t²)/2 Velocidade (V): V = V ₀ + a t